divisibilité et Nombres premiers

Division euclidienne

Définition :

Effectuer la division euclidienne (ou entière) de l’entier a par l’entier non nul b, c’est déterminer les entiers q et r vérifiant l’égalité :

a = b × q + r avec r < b

Vocabulaire :

a s’appelle le b s’appelle le q s’appelle le r s’appelle le	a b

Ex 1 : Combien de boites de 36 macarons dois-je acheter pour pouvoir en donner 2 à chacun de mes 240 invités ?

Le nombre de macarons que je veux offrir est :

Divisons par :

Ex 2 : Soit l’égalité 165 = 18 × 8 + 21

On partage ici 165 en 8 paquets de unités. Il reste alors unités.

Peut-on proposer un partage plus astucieux ?

Oui, car ici, le reste est plus grand que le

On écrira donc l’égalité :

Multiples et diviseurs d’un nombre

Définition :

Si le reste de la division d’un entier a par un entier b est nul, on dit que :

a est un « multiple » de b

a est « divisible » par b

b est un « diviseur » de a

Ex 1 : 408 = 12 × 34 + 0

est un multiple de

est un diviseur de

est divisible par

Ex 2 : Donner tous les diviseurs de 12 :

Critères de divisibilité

Un nombre est divisible:

● par 2 s’il est pair.

● par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

● par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.

● par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

● par 10 si son dernier chiffre est 0.

Ex : 3345 est-il divisible par 15 ?

Nombres premiers

Définition

On appelle « nombre premier » tout entier positif qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Remarques :

0 n’est pas premier car il admet une infinité de diviseurs

1 n’est pas premier car il n’est divisible que par 1

2 est premier car il n’est divisible que par 1 et 2

3

4

Crible d’Eratosthène

Déterminons les nombres premiers inférieurs à 50 :

Méthode :

On parcours le tableau ci-dessous dans l’ordre croissant.

On entoure chaque nombre premier et on barre tous ses multiples :

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50

Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers

Ex 1 : Décomposer 60 en produit de facteurs premiers :

60 = 6 × 10 = 2 × 3 × 2 × 5 = 22 × 3 × 5

Ex 2 : Même question avec 105 :

Ex 3 : Quels est le plus grand des diviseurs communs à 60 et 105 ?

PGCD(60, 105) =

Ex 4 : Quel est le plus petit des multiples communs à 60 et 105 ?

PPCM(60, 105) =

Ex 5 : Calculer A =

Ex 6 : Calculer B =

Remarque:

La décomposition en produit de facteurs premiers est très utile notamment dans les calculs avec fractions : simplifications, multiplications, déterminer un dénominateur commun (comparaisons, additions et soustractions).